微分の公式

積分に必要な微分の公式の一覧。

(10)の合成関数の微分は繰り返し使うことになるけど、これだけ覚えても無意味。


\displaystyle (1) \hspace{4ex} ( x^n )' = n x^{n-1}

\displaystyle (2) \hspace{4ex} ( \sin x )' = \cos x

\displaystyle (3) \hspace{4ex} ( \cos x )' = - \sin x

\displaystyle (4) \hspace{4ex} ( \tan x )' = \frac{1}{{\cos}^2 x}

\displaystyle (5) \hspace{4ex} ( e^x )' = e^x

\displaystyle (6) \hspace{4ex} ( \log x )' = \frac{1}{x}

\displaystyle (7) \hspace{4ex} ( f(x) g(x) )' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)

\displaystyle (8) \hspace{4ex} \Big( \frac{f(x)}{ g(x)} \Big)' = \frac{f'(x) g(x) -f(x) g'(x)}{{ g(x) }^2}

\displaystyle (9) \hspace{4ex} ( \log | f(x)| )' = \frac{f'(x)}{f(x)}

\displaystyle (10) \hspace{4ex} { f(g(x)) }' = f'(g(x)) g'(x)


それぞれの公式は覚えるだけでは不十分だね。

(4)以外は導関数の定義から、(4)は(8)から導けるので、

少なくとも一度は自分で計算して確認すべし。

2013年に大阪大学 前期 理系で\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac{\sin x }{x} =1

を証明する問題が出題されている。

どんな教科書にも書かれていて当たり前のように使っている式だけど、

当たり前すぎると無警戒になってしまうのは世の常。